mate matika diskrit part 1

pengantar mate matika diskrit

matematika diskrit adalah cabang matematika yang mempelajari obyek diskrit. Diskrit adalah obyek yang berhingga yang berlainan. Konsep obyek diskrit berkebalikan dengan obyek kontinyu. Obyek kontinyu mengambil data secara terus menerus. Bila data yang diambil berupa grafik, akan diperoleh grafik yang cenderung halus dan berkelanjutan (kontinyu), seperti dihasilkan uji pendulum yang ditunjukkan pada gambar Matdis1–1.

Gambar Matdis1–1. Sinyal Kontinyu pada uji pendulum
(Sumber: http://zenosphere.wordpress.com/2010/12/22/filosofi-kurva-diskrit/)

Bila pergerakan pendulum diukur dengan komputer secara diskrit, data diambil oleh sensor-sensor tiap satuan waktu tertentu dan selanjutnya dikonversi menjadi sinyal digital. Pergerakan pendulum dan waktunya dicacah (sampling) tergantung frekuensi prosesor dan besarnya memori. Pencacahan itu mengakibatkan data hasil konversi ikut menjadi diskrit (terputus-putus) seperti ditunjukkan pada gambar Matdis1–2. Sementara dalam pengukuran analog secara kontinyu, pembatasan oleh prosesor dan memori itu tidak terjadi. Dalam proses tersebut akan terjadi rugi-rugi (corrupt) pada data yang tak teramati.

Gambar Matdis1–2. Sinyal diskrit yang dihasilkan oleh pengolahan komputer digital
(Sumber: http://zenosphere.wordpress.com/2010/12/22/filosofi-kurva-diskrit/)

Untuk mengatasi permasalahan rugi-rugi data dalam jumlah besar, serta meminimalkan kesalahan informasi yang ditampilkan pada perangkat output, pencacahan harus dilakukan dalam rentang waktu serapat mungkin. Pada kasus pengukuran melalui komputer, semakin tinggi spesifikasi prosesor dan memori, akan menghasilkan grafik yang lebih halus dengan kerapatan yang semakin tinggi pula. Perhatikan ilustrasi pada Gambar Matdis1–3.

Gambar Matdis1–3. Sinyal diskrit dengan kerapatan sampling yang berbeda
(Sumber: http://zenosphere.wordpress.com/2010/12/22/filosofi-kurva-diskrit/)

Bila Komputer digital bekerja secara diskrit begitu pula informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer-pun adalah dalam bentuk diskrit. Matematika diskrit merupakan ilmu dasar yang penting dalam pendidikan informatika atau ilmu komputer. Matematika diskrit memberikan landasan matematis untuk mata kuliah lain dibidang teknik informatika, misalnya: algoritma, struktur data, basis data, jaringan komputer, keamanan komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb. Matematika diskrit bertujuan untuk memberikan dasar-dasar dan konsep-konsep matematika yang mendukung sistem digital dan komputer.

filosofi kurva diskrit

Di bidang teknik, terdapat sebuah metode yang disebut konversi analog ke digital. Sekilas namanya terdengar seram, meskipun begitu, sebenarnya intinya cukup sederhana: bagaimana menerjemahkan data fisika — yang bersifat analog — supaya bisa diolah secara digital. Contoh penerapannya misalnya pada speedometer digital atau termometer kopel.

Nah, data digital tersebut kemudian akan diolah oleh komputer. Tujuannya tentu untuk memudahkan kerja insinyur. Sebagai contoh kita ambil kegiatan dalam pabrik — di dalamnya terdapat puluhan tangki yang tekanan, suhu, dan level cairannya harus dimonitor 24 jam nonstop. Berhubung data dan perhitungannya rumit, maka hampir mustahil dilakukan secara manual. Oleh karena itu lebih baik diserahkan pada komputer.

Meskipun begitu, proses menggunakan komputer ini bukannya tanpa cacat. Dalam melakukan konversi analog ke digital sudah pasti ada data yang hilang. Penjelasannya kira-kira seperti berikut.

Ilustrasi dulu…

Di bawah ini adalah pendulum yang ujungnya diikat pena. Kemudian data pergerakan pendulum tersebut ditorehkan ke atas kertas.

Ilustrasi: Pencatatan data secara analog (kondisi ideal)

Dalam gambar di atas terlihat bahwa grafiknya tampak halus (pendulum menggerakkan pena, pena menulis di atas kertas, dan seterusnya). Apabila kita mengukur manual, kita mendapat grafik yang cenderung halus dan berkelanjutan (kontinu).

Meskipun begitu, lain kasusnya jika kita mengukur pergerakan pendulum lewat komputer. Pertama kita harus menyertakan sensor di sana-sini. Kemudian dari sensor itu datanya diolah dan dikonversi menjadi sinyal digital. Sialnya, sebagaimana sudah disebut di atas, dalam proses ini akan timbul semacam korupsi — data kita tidak akan sempurna.

Ilustrasi: Hasil konversi dari analog ke digital (kondisi ideal)

Grafik yang didapat tidak lagi mulus seperti di atas kertas, melainkan terputus-putus.

Kenapa bisa begitu?

Itu karena komputer cuma bisa memindai secara diskrit. Dalam kasus di atas, pergerakan bandul dan waktunya dicacah (sampling) tergantung frekuensi prosesor dan besarnya memori. Pencacahan itu mengakibatkan data hasil konversi ikut menjadi diskrit (alias terputus-putus).

Sementara dalam pengukuran analog, pembatasan oleh prosesor dan memori itu tidak terjadi. Bisa dibilang ini kelemahan kalau kita mendata gejala fisika lewat komputer.

Yang jadi masalah…

Yang memusingkan bagi para insinyur adalah peristiwa berikut ini: karena data digital yang didapat “bolong-bolong”, maka kita jadi kesulitan mengetahui bentuk kurva aslinya. Kita harus menebak-nebak ada apa di antara dua titik.

Ilustrasinya kira-kira seperti berikut.

Yang harus diingat adalah bahwa titik-titik dalam grafik di atas dapat ditafsirkan secara bebas. Bebas di sini dalam artian benar-benar bebas — saya boleh menerjemahkannya jadi kurva bentuk apapun. Syaratnya cuma bahwa kurva saya memenuhi syarat melewati semua titik.

Lalu bagaimana menyelesaikannya?

Nah, melihat ini, para matematikawan kemudian mengembangkan teknik yang disebut Analisis Fourier. Kita tidak akan membahas detail di sini, meskipun begitu, intinya adalah menduga persamaan seperti apa yang kurvanya melewati setiap titik data. Diharapkan dari situ kita mendapat bentuk sinyal yang sebenarnya.

Meskipun demikian ini tetaplah sekadar educated guess. Pada dasarnya, sekali data sudah hilang, tidak ada jalan pasti untuk mengetahui bentuk sinyal sebenarnya. Kita cuma bisa bermain perkiraan.

Lho, masa tidak ada solusi pastinya?

Tidak ada solusi pasti. Satu-satunya cara meminimalisir data hilang adalah sebelum pengukuran: kita harus mengeset jumlah pencacahan (sampling) sesering mungkin. Kalau prosesor dan memori kita cukup bagus, maka kita bisa mendapat bentuk grafik yang lebih rapat dan halus.

Semakin banyak sampling semakin akurat.

letak filosofi kurva mate matika diskrit

Begini, waktu itu saya jadi terpikir. Sehari-hari ‘kan kita biasa membicarakan tentang dunia. “Orang ini menyenangkan”, “masyarakat sudah rusak”, atau sebagainya. Tapi kenyataannya kita belum tentu punya data yang full set. Lebih seringnya justru kita mengambil kesimpulan dari fragmen yang terpisah-pisah.

Misalnya saya punya teman kantor. Saya ketemu dia lima hari seminggu, dari pagi sampai siang. Pertanyaannya: apa saya sudah mengenal dia? Belum tentu. Saya tidak tahu dia di rumah seperti apa. Kalau di kantor sih tampaknya baik, tapi mana tahu kalau di rumah ceritanya lain.

Bisa saja dia hobi memukuli istri. Atau mungkin dia punya aktivitas menarik yang tidak diceritakan ke teman kantor; misalnya rajin menulis di blog atau forum politik. Atau dia suka main game online sampai pagi. Tentunya ada juga kemungkinan bahwa kelakuannya di rumah tak jauh beda dengan di kantor, akan tetapi bukan itu inti tulisan ini.

Pertanyaannya adalah: seberapa yakin kita merasa mengenal seseorang dan/atau masyarakat? Apakah perasaan mengenali itu akurat atau tidak? Seperti diilustrasikan, kita umumnya cuma tahu fragmen-fragmen dari kepribadian yang bersangkutan. Selanjutnya kita cuma bisa menginterpolasi — menduga-duga — berdasarkan apa yang kita lihat.

Kadang interpolasi kita meleset karena tak cukup berinteraksi dengan orang tersebut — datanya tidak cukup banyak, so to say. Kadang melesetnya perkiraan itu menimbulkan kekecewaan atau sakit hati, tapi itu cerita lain. Akan tetapi yang semacam itu bukan tak bisa diobati. Sebagaimana halnya kurva diskrit di atas, jalan untuk meningkatkan pemahaman adalah dengan menambah sampling; dalam kasus ini, yakni lewat interaksi yang lebih intens dan mencatat hasilnya.

Sebagaimana kurva diskrit sulit untuk dikenali kalau datanya sedikit, demikian juga pengenalan kita pada orang dan dunia. Cara terbaik untuk memahami adalah dengan memperbanyak data — dan dari data itu, kita melakukan educated guess, semakin dekat pada bentuk aslinya.